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直线方程迭代式法设计自由曲面LED透镜

 

1.     引言

随着LED照明技术革命日益铺开,其配光设计方法也逐渐变得多样化,但总的说来,可以分为试错寻优法和数值计算法两种。前者一般需要强大的光学软件优化功能作为支撑,同时还需一个初始的参数化模型,从而在该初始模型的基础上依靠软件或人工干预逐步调整各个参数,采用自动或半自动的试错比较办法来寻找更优越的参数,从而得到较满意的模型;后者则需要理论完备的数学模型作为支撑,其模型是多样化的,比较典型有:基于偏微分方程建立的数学模型、基于直线方程的迭代式模型等。采用试错寻优法设计过程中,建立初始的参数化模型也是多样化的,可以根据经验先建立初始三维模型,也可以先模仿一个现有的产品 (如三维扫描某现成产品),选取某些抛物线或双曲线等简单参数化的模型逼近产品的关键性截面,然后调整这些少量的参数达到试错寻优的目的。试错寻优法主要是经验与软件技巧的掌握,难以从理论上加以论述,而关于基于偏微分方程的数学模型相关的文献已屡见不鲜,笔者不再赘述,本文重点介绍如何采用一种基于直线方程的迭代式设计LED自由曲面透镜的方法。

2.     尺规作图法设计反射器

在计算机辅助设计之前,不仅工程制图完全依靠尺规作图,而且灯具的反射器轮廓也可以采用尺规作图的方法设计。由于该方法不仅简单易学,可以帮助光学设计者迅速完成最初始的草案设计,还能够推导出基于直线方程的迭代式方法,因此,本文从最传统的设计方法入手,并依此为基础,讨论其直线方程迭代式的设计原理。

LED二次光学设计过程中,光源的配光曲线是已知的,被设计灯具所期待的配光曲线是可以预估的或等同于已知的,因此,可以利用环带光通法、入射与出射光线的能量积分法、经验法等,总可以把入射光线与反射光线(或折射光线)一一对应起来。由于知道入射光线或出射光线,则反射面或折射面从理论上来说肯定也是已知的,其关键问题只有两个:第一,如何找到非常便利的入射出射对应关系;第二,如何寻找一种即简单又准确的方法绘制反射面或折射面。本节为了画图便利,仅讨论一种非常简单的对应关系:入射光线经反射器反射后,反射光线与入射光线的夹角成90度。如图1所示,LED光源的光学中心位于坐标原点O,把与X轴正方向的夹角小于60度的光线反射后,使其与X轴正方向的夹角增加90度。要实现尺规作图绘制反射器轮廓,可以分以下几个步骤完成:

第一步:把需要通过反射器改变传播方向的光线离散化为入射光线,并分别对应于反射光线。各入射光线间的夹角为10度,并绘制相邻入射光线间的角平分线作为辅助线,供后面各步骤参考。

第二步:选定反射器的起点,即与入射光线相交点的位置,并平移反射光线点处(也可不平移)。

第三步:根据的角平分线与反射面垂直的关系,可以确定反射面的方向,该反射面与入射光线的角平分线相交于点,如图1中绘制的线段

第四步:根据的角平分线与反射面垂直的关系,可以确定新的反射面方向,且该新反射面的起点为第三步绘制的反射面的终点,该新反射面与入射光线相交于点,与入射光线的角平分线相交于点,如图2中绘制的线段

第五步:重复第四步,如图3所示,绘制出线段等其余线段,直到与最后一条入射光线相交为止,然后,连接与入射光线相交的所有交点,得到光滑的曲线即为反射器的轮廓线。

1 离散化输入光线束

3连接各关键点得到光滑线

2逐段绘制反射器轮廓线

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 


3.     建立基于直线方程的迭代式

3.1 尺规作图过程中隐含的迭代过程

尽管采用尺规作图设计反射器轮廓比较简单,但在离散化入射光线时,其入射光线数不能太多,否则,画图的工作量是巨大的。如果入射光线太少,则可能导致误差增大。该方法存在的另外一个严重问题是:每次修改一个设计就相当于重新绘制一遍轮廓图,其设计效率非常低。但从上一节分析知,绘制一两段反射面最多只需要五步就能完成,对于光线数较多的反射面制图,仅仅是重复性的步骤而已,这些重复性的步骤如能够采用数学迭代式表达出来,则可以由相应程序计算出各直线或各直线间的交点坐标,那反射面的设计与修改就非常容易了。

3.2 各直线间的几何关系

在建立迭代式之前,需要把各直线间的函数关系用数学表达式写出来。首先,以设计透镜时需要考虑的折射原理为例,建立如图4的坐标系,光源位于坐标原点,点为透镜上任意一点,过点作透镜表面的切线轴于点,过点作透镜表面的法线轴于点

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4各直线间的数学关系

 

 

 

 

 

 


由原点出发的光线经折射面折射后,改变传播方向至,入射角为,折射角为,入射光线、折射光线、反射面和法线与轴正方向的夹角分别定义为,根据几何知识有公式 (1) 成立:

                                         (1)

设入射光所在介质的折射率为,折射光线所在介质的折射率为,由折射定律可以得到公式 (2)

                                              (2)

(1) 带入 (2) 可推导出法线轴正方向的夹角应满足 (3) :

                                  (3)

3.3 迭代式的建立

如图5所示,若折射面的起点为,其坐标可表示为,入射光线束被离散化为,分别与轴正方向的夹角为,与该入射光序列所对应的折射光线分别为,折射光线序列分别与轴正方向的夹角为

5入射光线序列示意图

 

 

 

 

 

 


根据点以及折射面的法线的斜率负倒数(由公式 (3) 求出)可以写出的点斜式方程 (4),并与入射光线的直线方程 (5) 联立可求出点的坐标,如公式 (6)所示:

                  (4)

                         (5)

     (6)

根据点以及折射面的法线的斜率负倒数(由公式 (3) 求出)可以写出的点斜式方程 (7),并与入射光线的直线方程 (8) 联立可求出点的坐标,如公式 (9) 所示:

                               (7)

                                  (8)

           (9)

在求出点后,可以把点等效看作点,重复公式 (4)~(6) 和公式 (7)~(9) 的过程,计算出的点坐标,由此递推可得到迭代通式,即:偶数序列的点坐标和奇数序列的点坐标可由公式 (10) (11)得出:

(10)

(11)

3.4 多折射面的迭代式

从公式 (5) (8) 看出,入射光线经过坐标原点,若入射光线并非从坐标原点出发,而是经过某折射面后到达所求的折射面,则可定义各入射光线的起点为,其横坐标表示为,纵坐标为,则公式 (5) (8) 改写为 (12) (13) ,再分别与公式 (4) (7) 联立,即可推导出点的坐标的表达式 (14) 和点的坐标表达式(15)

                                                               (12)

                                                                (13)

(14)

         (15)

同理,可以根据偶数点序列和奇数点序列分别写出各自的迭代通式 (16) (17)

(16)

(17)

4.     直线方程迭代式与偏微分方程迭代式对比

4.1 偏微分方程简化与偏微分方程迭代式的建立

设光源位于坐标系的原点,如图6所示,自由曲面上的任意一点O′可以表示为 ,角度C为向量XOY平面上的投影与X轴正方向的夹角,角度γ为向量Z轴正方向的夹角;若以点O′为球坐标系的球心,则出射光线向量可以表示为 ,其中角度θ为向量XOY平面上的投影与X轴正方向的夹角,角度φ为向量Z轴正方向的夹角,则自由曲面 可由偏微分方程组 (18) 表达出来[1]。对于旋转对称或拉伸型反射器或折射器来说,取,则公式 (18) 可简化为 (19),再根据梯形法求解微分方程的思路,可以把公式 (19) 离散化,得到偏微分方程迭代式(20):

 

 

 

 

 

6  坐标系的建立

        (18)

        (19)

       (20)

4.2 入射光线与出射光线对应关系

入射光线与出射光线的对应关系是多样化的,它主要取决于光学设计者的设计目标与设计经验,因篇幅限制,本文仅以朗伯型光源经透镜外表面重新分配为余弦负二次方函数为例讨论两种迭代式的区别。假定内表面不改变光线路径,透镜折射率为,出射光线所在材质的折射率,出射光线的最大配光角度为120度。根据光源光线经过透镜前后的积分相等或相差一个系数(光学效率)的原理,可以得到输入光线、输出光线与图4中的Y轴(或图6中的Z轴)正方向的夹角之间应满足公式 (21),其详细推导过程可参见文献[1]

(21)

4.3 两种迭代式的计算结果比较

设透镜自由曲面的起点坐标为,即此时的,并把入射光线离散化为间隔0.1度的入射光线序列,把公式 (21) 分别代入 (10) (11) (21),即可得到两种迭代式的计算结果,如表1所示,表中有灰色填充背景色的数据为偏微分方程迭代式的计算结果,加双线框的数据为直线方程迭代式的计算结果,根据两组数据绘制出的自由曲线如图7所示。需要注意的是,在利用迭代式求解出的点坐标绘制自由曲面时,挑选奇数点序列或奇数点序列的一部分作为曲线的基点较适宜,这是因为任何一个奇数点与相邻两偶数点在同一条直线上(可由图3看出),如选择同一直线上的三点作为光滑曲线的基点,则存在所绘制曲线不够光滑的可能性。

 

1 两种迭代式的计算结果比较

0

0

10

0

10

0

10

0.1

0.141421105

10.00001262

0.017453306

9.999997387

0.01745331

10

0.2

0.282840702

10.00005047

0.03490669

9.999989546

0.03490669

9.999989546

0.3

0.424257284

10.00011356

0.052360233

9.999976477

0.052360247

9.999979091

0.4

0.565669343

10.00020187

0.069814012

9.999958176

0.069814012

9.999958173

0.5

0.707075371

10.00031542

0.087268108

9.999934638

0.08726813

9.999937255

0.6

0.848473862

10.00045419

0.104722597

9.999905859

0.104722597

9.999905854

0.7

0.98986331

10.00061818

0.122177561

9.999871832

0.122177593

9.999874452

0.8

1.131242207

10.00080739

0.139633076

9.99983255

0.139633076

9.99983254

0.9

1.272609049

10.0010218

0.157089223

9.999788003

0.157089264

9.999790627

1

1.41396233

10.00126142

0.174546079

9.999738181

0.174546079

9.999738166

1.1

1.555300545

10.00152623

0.192003724

9.999683073

0.192003774

9.999685702

......

......

......

......

......

......

......

89.7

59.99954655

8.78718791

8.787067457

0.046009398

8.768548795

0.045912434

89.8

59.99979847

8.775150806

8.775097345

0.030630993

8.756572232

0.030566327

89.9

59.99994962

8.763110088

8.763096741

0.015294505

8.744565362

0.015262161

90

60

8.751065937

8.751065937

1.28782E-13

8.732528475

1.2851E-13

7两种迭代式计算结果比较

 

 

 

 

 

 


5.     结论

从计算结果比较表及自由曲面图形可以看出,两种迭代式求解出的自由曲面相差很小,尤其是曲线上相对应位置的曲率误差更小,即两种方法所得到的配光曲线几乎是无差异的。在轴对称或沿直线方向拉伸形式的透镜或反射器设计时,直线方程的迭代式非常实用,尤其是解决内外表面同时为折射面的问题时,该方法能弥补其他仅考虑内表面或外表面光学设计的不足。

 

参考文献

[1] 邹吉平. 偏微分方程组求解自由曲面照明光学器件. 照明,2012 (5): 35~40.

[2] 丁毅. 自由曲面光学器件的设计及其在照明系统中的应用: [博士学位论文]. 杭州: 浙江大学信息学院, 2009

 [3] 邹吉平. 道路照明灯具光学系统配光性能优化研究: [博士学位论文]. 上海: 同济大学建筑与城市规划学院, 2011

 

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