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偏微分方程组求解自由曲面照明光学器件

1. 引言

自由曲面的灵活空间布局和设计自由度,不仅可以在成像光学中提高光学系统的像质,还可以在照明系统中重新分布光源光强,方便灵活地实现配光曲线设计。尽管自由曲面实现配光曲线设计简单实用,但面对自由曲面设计过程中复杂的数学关系,许多设计者也只能望洋兴叹。本文详细论证了建立适用于配光设计的偏微分方程组的数学推导过程,得出一种通用型偏微分方程组的显式表达式,并采用微分方程初值数值解法的梯形法求解出一种旋转对称型LED透镜的自由曲面特征曲线。

2.数学模型的建立

2.1 坐标系统的定义

灯具的空间光度数据通常采用A-aB-b C-g三种坐标系统,其中C-g坐标系统具有球面度空间,它往往比球面度空间的A-aB-b坐标系统应用更广泛。如图1所示的三维直角坐标系中,点光源位于坐标系的原点O,从原点O发出的光,到达自由曲面上任意一点O后,经自由曲面反射或折射到点R,则向量即为入射光线向量,为反射或折射光线向量。

1 坐标系统的定义

在图1中,若以直角坐标系的坐标原点OC-γ球坐标系的球心,则自由曲面上的任意一点O′可以表示为 ,角度C为向量XOY平面上的投影与X轴正方向的夹角,角度γ向量Z轴正方向的夹角;若以点O′为球坐标系的球心,则反射光线向量可以表示为 ,其中角度θ为向量XOY平面上的投影与X轴正方向的夹角,角度φ向量Z轴正方向的夹角。

假定点O′自由曲面上的任意点在三维直角坐标系中可以表示为 ,而在球坐标系中可以表示为 ,则有公式 (1) 成立。

     (1)

2.2 入射光线的数学表达式

入射光线向量可以根据 的坐标表示成向量的代数表达式 (2),若把公式 (1) 带入 (2) 可得公式 (3),若只考虑入射光线的方向时,采用入射光线的单位向量表示入射光线的方向更便利,可由公式 (3) 得到单位向量的数学表达式 (4)

                                                    (2)

                                               (3)

                        (4)

2.3 反射或折射光线的数学表达式

同入射光线向量类似,反射光线向量可以根据 的坐标表示成代数表达式 (5),还可以表示成极坐标表达式 ,两者间的转换关系可由公式 (6) 得出,由公式 (6) 带入 (5) 得到公式 (7)若只考虑反射或折射光线的方向时,采用单位向量表示反射或折射光线的方向更便利,可由公式 (7) 得到单位向量的数学表达式 (8)

                                                           (5)

             (6)

                                     (7)

                                                 (8)

2.4 法向量的数学表达式

入射光线与反射光线关于自由曲面上的任意入射点处的法线量对称,而入射光线在入射点处与折射光线和法向量之间满足折射定律,因此,自由曲面上的任意点法向量可以由入射光线的单位向量和反射光线的单位向量表示出来,图2-A示意了入射光线、反射光线与法向量之间的几何关系,法向量则可用反射光线单位向量减去入射光线单位向量得到;图 2-B 2-C 示意了入射光线、折射光线与法向量之间的几何关系,当光线从玻璃进入空气中时,法向量等于折射光线单位向量缩小玻璃折射率倍数后的向量减去入射光线单位向量;当光线从空气进入玻璃中时,法向量等于折射光线单位向量减去入射光线单位向量缩小玻璃折射率倍后的向量。

2 法向量与反射光线、折射光线、入射光线的关系

当不关注法向量的大小而只关注其方向时,以上三种情况可由公式 (9) 统一表示,公式中的为折射(或反射)光线所在介质中的折射率,为入射光线所在介质中的折射率。

                                             (9)

2.5 切向量的数学表达式

若反射(或折射)器表面上任意一点的邻域内有两点,从坐标原点发出的光线到这两点的入射光线分别用向量表示,其代数表达式如公式 (10) 和公式 (11) 所示。若该邻域足够小时,两向量之差即为反射器表面的切向量,即:切向量可由公式 (12) 表达。

                                                (10)

                                                (11)

                                                 (12)

把公式(10) (11) 带入公式 (12) 有公式 (13), 该公式中的表示自由曲面上点P邻域内两点间连线在坐标轴上的投影。

                      (13)

假设自由曲面反射器表面在定义域区间内连续可导,当时,可以由反射器表面上的点在各坐标轴方向上的偏导数表示出来,即有公式 (14) 成立。

                                             (14)

2.6 偏微分方程组的建立

在求出自由曲面反射器 (或折射器) 表面上任意点处的切向量和法向量后,由切向量与法向量垂直,即两者间满足内积等于零的关系,有公式 (15)成立。

                                                                               (15)

根据公式 (1)~(15) 即可建立自由曲面反射器(或折射器)满足的偏微分方程组,下面逐步讨论建立偏微分方程组的推导过程:

第一步,由公式 (1) 等式两端分别对Cγ分别求偏导数,得公式 (16), (17)

                                                               (16)

                                                               (17)

第二步,根据公式 (16), (17) 可以推导得出公式(18), (19)

                                   (18)

                                         (19)

第三步,由公式(14)带入(13)得公式(20)

                                    (20)

第四步,由公式(18), (19)分别带入公式(20)得到公式(21), (22)

                                                                  (21)

                                                       (22)

第五步,由公式 (4), (8) 带入公式 (9),得到公式 (23)

                                    (23)

第六步,由公式(21), (23) 带入公式 (15) 得到公式 (24),由公式 (22), (23) 带入公式 (15) 得到公式 (25)

(24)

(25)

第七步,由公式 (24) 变形整理得到公式 (26), 由公式化 (25) 变形整理得到公式 (27), 公式 (26), (27)即为所建立的自由曲面偏微分方程组数学模型

                                   (26)

                                  (27)

3.入射光线和出射光线间的对应关系

尽管公式 (26) (27) 给出了入射光线、出射光线、反射或折射器表面间的数学关系,但由于公式中有5个未知数,无法直接求解。在实际工程应用中,光源的光强空间分布特征通常是已知的,而设计目标的光强分布特征是给定的,所以,根据这两个已知条件,就可以把任意出射光线向量 和入射光线向量 一一对应起来。

本节以旋转对称透镜设计为例,如图3所示,光源的光强分布特性为余弦朗伯型,设计出的透镜在范围内具有余弦函数负二次方特性,并假设透镜的折射率为1.5,其内表面为半球形,光线经过内表面不发生折射现象,所有光强重新分配的功能完全由透镜外表面完成。

3 入射光线出射光线间的对应关系

若图3的截面图位于图1中的XOZ平面内,则在图1所示的XOZ正半平面内,入射光线 C角度恒等于0,由于透镜具有旋转对称特性,则出射光线向量 也应该在XOZ正半平面内,即 也恒等于0。基于这些假设条件,得到公式 (26) 恒等于0的结论,而公式 (27) 也可简化成公式 (28)

  (28)

由于光源的光强分布特性为朗伯型,设计透镜把朗伯型光源重新分配成余弦负二次方的光强分布特性,两者间的光强分布函数可以表示成公式 (29)

        (29)

如假设发生折射前后无能量损失,则根据光通量的积分计算方法得到公式(30) ,且该积分公式的右端应该相等。

 (30)

,其中为待定系数

根据自由曲面特征曲线的起点和终点上的入射和出射对应关系,即当时,假设有公式 (31) 的对应关系,则可求解出待定系数的值,从而得到入射光线向量和出射光线向量间的方位角函数表达式,如公式 (32) 所示。

                                     (31)

                                                                                    (32)

把公式 (32) 带入公式 (28) 即可得到简化的微分方程,如公式 (33)所示。

                                                 (33)

4. 光学建模与仿真计算

根据上一节的推导结果,如假设在,则公式 (33) 即可采用微分方程的初值数值解法求解。常用的微分方程初值数值求解方法有欧拉法、梯形法、泰勒级数法、龙格库塔法等,本文不再赘述。

在求解出自由曲面的特征曲线后,即可导入ProESolidworksCatiaUG等三维建模软件,建立透镜和光源的三维模型,如图4所示,导入光学软件后,即可模拟出配光曲线图,如图5和图6所示。从图5和图6可以看出,出射光线的光强分布基本上符合余弦负二次方函数分布,在的光强值约为光强值的4倍,在的光强值约为光强值的2倍,说明本文的理论分析与实际是一致的。

4 旋转对称透镜剖视图

 

5 仿真结果的直角坐标配光曲线图

 

6 仿真结果的极坐标配光曲线图

 

 

参考文献:

[1] 丁毅. 自由曲面光学器件的设计及其在照明系统中的应用: [博士学位论文]. 杭州: 浙江大学信息学院, 2009

[2] Zexin Feng, Yi Luo, Yanjun Han. Design of LED freeform optical system for road lighting with high luminance/illuminance ratio. Optics Express, 2010,11, Vol. 18(21): 22020~22031

[3] 邹吉平. 道路照明灯具光学系统配光性能优化研究: [博士学位论文]. 上海: 同济大学建筑与城市规划学院, 2011

[4] 邓建中, 刘之行. 计算方法[M]. 西安: 西安交通大学出版社, 2001. p218~253

 

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